Notação Científica

Geralmente usa-se o seguinte formato:
N X 10x onde N= número maior do que 1 mas inferior a 10
e x= o exponente de 10.

Escrever um número na notação exponencial (notação científica) tem muitas vantagens:
Para os números muito grandes ou muito pequenos poderem ser escritos de forma mais abreviada.
Na utilização dos computadores ou máquinas de calcular esta notação tem um uso regular.
Tornam os cálculos muito mais rápidos e fáceis.

Números maiores que 10
Localizada a vírgula desloca-se esta para a esquerda por forma a ficar um algarismo não nulo à esquerda.
Esse inteiro será o N (atrás referido) da expressão correspondente à notação científica.
Conta-se o número de casas que a vírgula andou no ponto nº 1, esse será o expoente de 10.
Assim obtemos o número escrito sob a forma : N X 10x.
Vamos ao primeiro exemplo que podes seguir passo a passo
Seja o número 23419 :
na notação científica como se escreve?
Vamos deslocar a vírgula 4 casas para a esquerda e fica:
2.3419
O expoente encontrado será 4
Escreve-se agora o produto:
Ou seja: 2.3419 X 10 4
Como fazer quando os números são menores que um?
Vamos seguir exactamente os mesmos passos do item anterior só que a vírgula vai deslocar.se para a DIREITA. O número de posições ou casas que a vírgula se deslocou para a direita será o nosso -x (expoente negativo de 10)
Convém recordar que uma potência de expoente negativo pode ser escrita com o uso de um expoente positivo. Exemplo::
10-5 pode ser reescrito como 1/ 105.
Vamos escrever agora um número em notação científica. Seja:
0.000436
Primeiro vamos deslocar a vírgula por forma a termos uma parte inteira não nula e menor que 10:
Teremos : 4.36
A vírgula deslocou-se para a direita quatro casas. Então o expoente de 10 será -4
E a expressão final será: 4.36 X 10-4
E se o número está entre 1 e 10?
(Este é o caso com menor interesse)
Neste caso não é necessário mover a vírgula basta só recordar que 100 =1 (como todas as potências de expoente zero) Então vamos ver o exemplo seguinte:
7.92 pode ser escrito como: 7.92 X 1 = 7.92X 100
I
Escreve agora os números dados com a notação científica:
123,8763
1236,840.
4.22
0.000000000000211
0.000238
9.10


Uma das vantagens desta notação, que foi mencionada no início, era a facilidade de operar com esses números de uma forma mais fácil do que com os seus equivalentes numéricos . Vamos ver como multiplicar num caso desses: De uma forma geral tem-se:
(N X 10x) (M X 10y) = (N X M) X 10x+y
Primeiro multiplica-se N por M .
Depois efectua-se a multiplicação das potências (soma-se os expoentes).
Finalmente seguem-se as regras atrás expostas.
Por exemplo:
(3 X 104) X (102)
Em primeiro lugar : 3 X 1=3
Segue-se (104) (102) = 104+2 = 106
Neste caso o resultado seria 3 X 106
Outro exemplo :
(4 X 103) (2 X 10-4)
Primeiro 4 X 2 = 8
Depois (103) (10-4) = 103+(-4) = 103-4 = 10-1
Resultado 8 X 10-1

II
Agora outros exemplos para tu fazeres:
(3 X 105) (3 X 106) = ?
(2 X 107) (3 X 10-9) = ?
(4 X 10-6) (4 X 10-4) = ?

Convém ainda veres o que fazer em casos como este: 13,5 X 108 , e isto acontece muitas vezes como resultado de uma operação. Claro que é simples:
Por exemplo: 13,5 X 108
Basta ajustar como anteriormente a colocação da vírgula: 1,35 X 101X 108 = 1.35 X 109
O mesmo para casos como 0.03X104 (onde o N é um número igual a 0 )
Vê este exemplo : 0.0078 X 105 =7.8 X 10(-3)X 105 = 7.8 X 105-3 = 7.8 X 102
Foi necessário mover a vírgula 3 casas:
7.8 X 105+(-3) = 7.8 X 105-3 = 7.8 X 102
Divisão de dois números em notação científica
O caso geral pode ser expresso por :
N X 10x / M X 10y = N/M X 10x-y
Claro está que depois de efectuada a divisão de N por M há que, se o resultado precisar, utilizar os procedimentos atrás mencionados. Cuidado com os sinais ao subtrair os expoentes !
Eis um exemplo : 6 X 105 : 2 X 102 =
Fazer a divisão de N por M ou seja 6/2 = 3
Subtarir os expoentes, pois 105 : 102 = 105-2 = 103
Apresentar o resultado final : 3 x 103

III
Apresenta os resultados das operações indicadas na notação científica
3.45 X 108 / 6.74 X 10-2 = ?
6.7 X 107 / 8.6 X 103 = ?
4.7 X 10-2 / 5.7 X 10-6 = ?


Adição e Subtracção de números em notação científica
Nos casos mais simples onde os expoentes de 10 são iguais , basta pôr em evidência a potência de 10 que é comum:
(N X 10x) + (M X 10x) = (N + M) X 10x
ou
(N X 10y) - (M X 10y) = (N-M) X 10y
Sempre com o cuidado já atrás recomendado : verificar se o resultado de N-M ou N+M não precisa de ser também trabalhado
Mas nem sempre os expoentes dos números são iguais. Então há que transformar os números por forma que isso aconteça .
Exemplo :(2.3 X 10-2) + (3.1 X 10-3)
Vamos então transformar o primeiro número (podiamos optar por o fazer com o segundo)
2.3 X 10-2 =23. 10(-1) X 10-2 = 23. X 10-3
Agora já a operação é simples: (23. X 10-3) + (3.1 X 10-3) = (23. + 3.1) X 10-3 = 26.1 X 10-3
Mas atenção: 26.1 é maior que 10 logo : 26.1 X 10-3 =2.61 X 10 X 10-3 ou seja 2.61 X 10-2
Outro exemplo:
(4.2 X 104) - (2.7 X 102) =
Agora, para variar, vamos ajustar o 2º número
2.7 X 102 fica 0 .027 X 102+2 = 0.027 X 104
E a operação pode escrever-se: (4.2 X 104) - (0.027 X 104) = (4.2 - 0.027) X 104 = 4.173 X 104
IV
Efectua:
(8.41 X 103) + (9.71 X 104) = ?
(5.11 X 102) - (4.2 X 102) = ?
(8.2 X 102) + (4.0 X 103) = ?
(6.3 X 10-2) - (2.1 X 10-1) = ?

Nota final: Quer nos computadores, quer nas máquinas de calcular ou mesmo na escrita normal o 10 da base é substituido por E . Assim : (5.11 X 102) - (4.2 X 10-3) aparece assim : (5.11 X E2) - (4.2 X E -3) ou mais simples : (5.11 .E2) - (4.2 .E-3) .
Nalguns casos o próprio E é omitido

Tirando a Fração Geratriz

Dízimas periódicas simples

a) 0,2222...

Período: 2

Coloca-se o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no denominador.







Nesse caso, temos uma dízima simples e a parte inteira diferente de zero.Uma estratégia é separar parte inteira e parte decimal:





Dízimas periódicas compostas



a) 0,27777...


Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador.


No caso do numerador, faz-se a seguinte conta: (parte inteira com antiperíodo e período) - (parte inteira com antiperíodo)


Assim:







b) 1,64444...







c) 21,308888... (o período tem 1 algarismo e o antiperíodo tem 2 algarismos)






d) 2,4732121212... (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo tem 3 algarismos)





Por que dá certo?


Veja a explicação na forma como geralmente se aprende a achar a fração geratriz na escola:


Chama-se a fração geratriz de x:

Para achar o valor de x, encontram-se múltiplos dele com apenas o período na parte decimal

E subtraem-se as duas igualdades

Assim, cria-se uma equação e elimina-se a parte infinita dos números envolvidos, achando-se a fração geratriz.Note que, no método mais prático, a conta sugerida é a mesma que aparece na equação: 164 - 16, e o denominador fica exatamente com os mesmos algarismos.No caso do exemplo D, deve-se multiplicar x por números ainda maiores, para se achar a mesma parte decimal nos dois números a serem subtraídos:

Esta imagem mostra o conjunto dos números reais pela "metade" pois não mostra os números irracionais, observe no gráfico que os números: Naturais, Inteiros, Racionais e Reais (exeto irracionais) estão representados pela sua representação matemática.

Classificação dos números.

Números Naturais

Naturais é a forma mais simples de classificassão de números. São eles o : 0, 1, 2, 3...

A imagem a esquerda é o símbolo de como os números naturais são representados matemáticamente.

Números Inteiros
Inteiros é a segunda fora mais simples de números, os números Naturais sempre participaram dos Inteiros: ...-1, -2, -3, 0, 1, 2, 3...

Ainda nao econtramos a imagem que representa os números inteiros matemáticamente.

Números Racionais

Racionais é um forma bem coplexa de números nela estão os números: fracionários, décimais, inteiros, racionais, dízimas periódicas e raízes exatas.

Ainda nao econtramos a imagem que representa os números racionais matemáticamente.

Números Irracionais
Irracionais é um pequeno grupo de números, nele estão apenas: raízes não exatas e dízimas não periódicas.

Ainda nao econtramos a imagem que representa os números irracionais matemáticamente.

Números Reais
Numerais Reais é o último e maior grupo de números, nele estão: fracionários, décimais, inteiros, racionais, dízimas periódicas, raízes exatas, raízes não exatas e dízimas não periódicas. Resumindo: estão todos os números (racionais e irracionais)

A imagem a cima representa todo o conjunto explicado (sobre números reais) matemáticamente.